Rumus, Cara Menentukan dan Contoh Soal

Pernahkah kamu menjumpai formula matematika yang mengubah angka A menjadi B dan sebaliknya angka B menjadi A? Inilah yang dinamakan dengan fungsi invers kelas 10. Invers sendiri berarti fungsi yang berkebalikan dari fungsi aslinya. Materi matematika satu ini menarik untuk dibahas.

Invers berguna untuk mencari hubungan antara angka-angka tertentu. Mengingat ini merupakan materi wajib yang pastinya akan kamu temui di sekolah, pastikan kamu mengetahui rumus dan contoh soal mengenai invers. Fungsi ini dapat dipakai untuk mengubah persamaan hingga mencari nilai x dan y.

Apakah kamu sudah tidak sabar untuk mempelajari invers? Untuk itu, mari simak selengkapnya pada pembahasan sebagai berikut!

Pengertian Invers

Invers adalah fungsi yang dalam matematika digunakan untuk menggambarkan hubungan terbaik antara dua operasi hitung. Makanya fungsi ini sering juga disebut sebagai fungsi kebalikan.

Apabila terdapat operasi hitung A dan B, maka invers dari A adalah B. Suatu fungsi F berubah menjadi F-1 jika F adalah fungsi bijektif. Suatu fungsi dikatakan bijektif apabila domain dan kodomain mempunyai jumlah anggota yang sama.

Pengertian Fungsi Bijektif dan Satu-satu

Dalam invers terdapat fungsi-fungsi yang dikenal sebagai fungsi bijektif dan satu-satu. Keduanya digunakan untuk menyebut kondisi suatu invers.

Fungsi bijektif sendiri adalah fungsi yang terjadi apabila domain dan kodomain mempunyai jumlah anggota yang sama. Suatu fungsi F berubah menjadi F-1 jika F adalah fungsi bijektif. Maka jika ada operasi hitung A dan B, maka invers dari A adalah B.

Sementara itu, fungsi satu-satu adalah fungsi yang setiap domain dihubungkan dengan kodomain berbeda. Sebutan lain dari fungsi ini adalah fungsi injektif. Contohnya adalah fungsi f(x) = x². Ini disebut sebagai fungsi satu-satu karena setiap domain x dipetakan ke kodomain berbeda, yaitu x².

Pengertian Fungsi Komposisi Invers

Jika sudah memahami fungsi invers dasar, pahami juga komposisi invers supaya lebih mudah menghitung invers. Fungsi komposisi artinya fungsi gabungan dari dua fungsi.

Penulisannya dilambangkan dengan simbol “o” atau dibaca sebagai bundaran atau komposisi. Maka jika ada persamaan (f o g), cara bacanya adalah fungsi bundaran g, yang artinya fungsi g dikerjakan terlebih dulu.

Sebaliknya jika ada (g o f), artinya adalah fungsi bundaran f dan fungsi f dikerjakan terlebih dulu. Sifat dari komposisi fungsi adalah sebagai berikut:

• Mempunyai elemen identitas
• Bersifat asosiatif, bukan komutatif

Lambang Invers

Pada dasarnya, invers adalah fungsi kebalikan. Penulisannya dalam perhitungan matematika ditandai dengan pangkat minus satu (^-1) dari huruf fungsi yang berkaitan. Agar lebih jelas, coba lihat gambaran simbol berikut ini:

• X= Y-1 (y^-1)
• Y = X-1 (x^-1)

Contoh penulisan invers di atas menyatakan bahwa matriks X dan Y adalah matriks invers atau berkebalikan.

Rumus Fungsi Invers

Invers mempunyai fungsi yang sangat sederhana. Kamu bisa menuliskan hubungan ini dengan rumus berikut:

(f⁻¹)⁻¹ = f

Namun fungsi untuk perhitungan yang lebih kompleks tidak bisa sekadar menggunakan rumus di atas. Berikut rumus fungsi yang umum digunakan:

Cara Menentukan Invers Fungsi

Dalam menghitung hubungan antara dua operasi hitung, pertama-tama kamu perlu menentukan dulu invers untuk fungsi yang hendak dihitung. Caranya mudah saja. Ada sebuah cara cepat yang bisa kamu coba. Namun sebelum itu, pahami langkah-langkahnya sebagai berikut:

Contoh f(x) = y

• Pada persamaan di atas, berarti variabel f(x) adalah variabel y dan f(x) memuat variabel x.
• Masukkan persamaan x ke dalam variabel y.
• Masukkan variabel x ke f-1(x) dan variabel y menjadi x.

Itu adalah dasar dari menggunakan rumus invers pada suatu persamaan.

Cara Menentukan Invers Matriks

Sebelum itu, pahami dulu bahwa invers matriks adalah kebalikan dari matriks. Hasil kebalikan ini didapatkan ketika matriks dikalikan dengan matriks semula, sehingga menjadi matriks identitas.

Adapun yang disebut matriks identitas adalah matriks yang elemen diagonalnya 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol). Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan menghitung menggunakan acuan ordo 2×2 atau 3×3. Berikut contoh perhitungan invers matriks:

1. Ordo 2×2

2. Ordo 3×3

Untuk mendapatkan hasil seperti di atas, inilah langkah-langkah yang harus Anda lakukan:

• Ganti anggota matriks yang berada di diagonal utama.
• Tambahkan tanda minus (-) pada anggota yang bukan di diagonal utama.
• Terakhir, lakukan pembagian pada setiap elemen matriks dan determinannya.

Contoh Soal Fungsi Invers

Melihat rumusnya saja mungkin tidak terlalu membantu untuk memahami fungsi ini. Oleh karena itu, artikel ini menyediakan kumpulan contoh soal yang bisa dijadikan latihan bagi kamu supaya lebih terbiasa dengan invers. Mari mulai berhitung!

1. Soal 1

Jika f(x) = x – 4, maka f-1(x) adalah….

Penyelesaian

f(x) = y f(x) = x – 4 y = x – 4 x = y + 4

Setelah itu, ganti nilai x dengan f-1(x) dan nilai y dengan y + 4. Setelah itu, kamu akan mendapatkan jawaban f-1 (x) = x + 4.

2. Soal 2

Jika f(x) = 6 – 6x maka f-1(x) = …

Penyelesaian

f(x) = y f(x) = 6 – 6x y = 6 – 6x 6x = 6 – y x = (6-y)/6

Sekarang, ganti nilai x dan y secara berurutan menjadi f-1(x) =  = 1 – 1/6x. Maka jawabannya adalah 1 – 1/6x.

3. Soal 3

Jika f(x) = 2x + 1 maka f-1(2) = …

4. Soal 4

Jika f(x) = x² – 2 maka f-1(x) adalah…

1. √x + 2 
2. √x + 8
3. x2 – 2
4. x2 – 8
5. x2 + 2

Penyelesaian

Mencari nilai f-1(x) y = x2 – 2 x2 = y + 2 x = √y + 2 f-1(x) = √x+2

5. Soal 5

Jika f(x) = 3 + √x+3, maka f-1(x) adalah…

1. (x – 3)² – 3
2. -(x – 3)² + 1
3. (x – 3)² + 9
4. (x – 9)² – 1
5. (x + 9)² – 3

Penyelesaian

Mencari nilai F-1(x) √x + 3   = y – 3 x + 3 = (y – 3)2 x = (y – 3)2 – 3 f-1(x) = (x – 3)2 – 3

6. Soal 6

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5. Tentukan invers dari fungsi linear tersebut!

Penyelesaian

Mencari nilai f-1(x) f(x) = 3x – 5 3x = y + 5 x = 1/3 (y + 5) f-1(x) = 1/3 (y + 5)

Maka kebalikan dari fungsi f(x) = 3x – 5 adalah f-1(x) = 1/3 (y + 5)

7. Soal 7

Jika fungsi dengan rumus f(x) = 2x – 1 dan f-1(x) adalah invers dari f(x). Berapa nilai dari f-1(7) adalah…

Penyelesaian

Mencari nilai f(x) = 2x – 1 f(x) = 2x – 1 2x f(x) + 1 x = ½ (f(x) + 1) x = ½ f(x) + 1/2 f-1(x) = 1/2x + 1/2   Mencari nilai f-1(7) f-1(7) = ½(7) + 1/2 f-1(7) = 7/2 + 1/2 = 4

Jawaban atas soal fungsi invers f-1(7) adalah 4.

8. Soal 8

Hitunglah invers dari rumus fungsi f(x) = (x + 3)/(x – 4)…

Penyelesaian

Mencari nilai f-1(x) y = (x + 3) (x – 4) y(x – 3) = x + 4 yx – 3y = x + 4 yx – x = 3y + 4 x (y – 1) = 3y + 4 x = (3y + 4)/(y – 1)

Setelah mendapatkan rumus tersebut, kamu tinggal mengganti posisi x dan y menjadi fˉ¹(x) dan x f‾¹(x) = (3x + 4)/(x – 1). Maka hasil akhirnya adalah f-1(x) = (3x + 4)/(x – 1).

9. Soal 9

Diketahui sebuah rumus f(x)=(4x+2)/(3x-1). Temukan invers dari rumus tersebut…

Penyelesaian

Mencari nilai f-1(x) y = f(x) y = (4x+2)/(3x-1) y(3x-1) = 4x+2 3xy – y = 4x+2 3xy-4x = 2+y x(3y-4) = 2+y x = (2+y)/3y-4

Setelah ditukar posisi, perhitungan ini menghasilkan bahwa invers dari f(x)=(4x+2)/(3x-1) adalah f-1(x) = (2+x)/(3y-4).

10. Soal 10

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5. Tentukan invers dan dapatkan nilai dari f-1(x)…

Penyelesaian

Mencari nilai f-1(x) y = 3x – 5 f-1(x) = 3f-1(x) – 5 f-1(x) – 3f-1(x) = -5 f-1(x).(1 – 3) = -5 f-1(x) = -5/-2 f-1(x) = 5/2

Maka invers dari fungsi invers pecahan f(x) = 3x – 5 adalah 5/2 atau 2,5.

11. Soal 11

Sebuah persamaan memiliki fungsi f(x) = 2x – 3. Hitung f-1(5)…

Penyelesaian

Mencari nilai x y = 2x – 3 y + 3 = 2x x = (y + 3)/2   Mencari nilai f-1(5) f-1(5) = (y + 3)/2 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4

Maka f-1(5) dari fungsi f(x) = 2x – 3 adalah 4.

12. Soal 12

Apabila f(x) = 8 – 1/2x, berapa invers dari fungsi tersebut?

Penyelesaian

Mencari nilai y f(x) = 8 – 1/2x y = 8 – ½x   Mencari nilai f-1(x) y = 8 – ½x y – 8 = -½x x = -2(y – 8)

Kesimpulannya, invers dari f(x) = 8 – ½x adalah f-1(x) = -2(y – 8).

Jadikan kumpulan soal fungsi invers dan cara menyelesaikannya di atas untuk berlatih sehingga kamu semakin mahir mengerjakan rumus matematika ini. Dengan sedikit latihan, pastinya kamu tidak akan kesulitan lagi mengerjakan invers! Kuncinya tetap konsisten dan terus berlatih.

Soal Latihan Fungsi Invers

Setelah melihat beberapa contoh di atas, silakan kamu coba menghitung invers dengan caramu sendiri. Berikut adalah 10 soal latihan, pastikan kamu mengerjakannya sendiri sebelum melihat kunci jawaban yang ada di bawahnya:

1. Tentukan invers dari f(x) = 3x + 2!
2. Diketahui f(x) = 4x – 5, cari rumus invers f-1(9)!
3. Hitung fungsi f(x) = 5x – 3 untuk menemukan inversnya!
4. Berapa invers dari f(x) = (2x + 3)/(x – 1)?

Kunci Jawaban

f-1(x) = 3x + 2

y = 3x + 2

y – 2 = 3x

x = (y – 2)/3

Ganti f(x) dengan y sehingga persamaannya menjadi:

y = 4x – 5

y + 5 = 4x

x = (y + 5)/4

f-1(9) = (9 + 5)/4 = 14/4 = 3.5

y = 5x – 3

y + 3 = 5x

x = (y + 3)/5

f-1(x) = (x + 3)/5

y = (2x + 3)/(x – 1)

y(x – 1) = 2x + 3

yx – y = 2x + 3

yx – 2x = y + 3

x(y – 2) = y + 3

x = (y + 3)/(y – 2)

f-1(x) = (x + 3)/(x – 2)

Baca Juga: